الگوریتمی که می تواند توالی های جذاب ریاضی برای انسان را تشخیص دهد

بر اساس یک بررسی می توان زیبایی و برتری ریاضی را به ماشین آموخت. برای مثال الگوریتم یا ماشین، می تواند توالی های عددی جذاب را تشخیص دهد. در ادامه با زومیت همراه باشید تا زیادتر به این موضوع بپردازیم.

  1. ۴ روز،۱۹ ساعت قبل
  2. ۰
الگوریتمی که می‌تواند توالی‌های جذاب ریاضی برای انسان را تشخیص دهد
به گزارش نوداد (سکوی اجتماعی خبر)

یکی از نادرترین ویژگی های ریاضیات زیبایی آن است؛ اما درک منظور دقیق ریاضیدانان از زیبایی کار دشواری است. شاید مشهورترین مثال رابطه ی اویلر، باشد که ارتباط عمیق بین حوزه های غیرمرتبط علم ریاضی را آشکار می کند. برای مثال از هندسه می آید، e و i از جبر می آیند و اعداد ۰ و ۱ همراه با عملگرهای + و = از نظریه ی اعداد گرفته می شوند.

تمام این اجزا به روشی ساده و غیرمنتظره یکی از شگفتی های بزرگ جهان ریاضیات را تشکیل می دهند. در نتیجه می توان گفت الگوهای ریاضی هم می توانند جذاب باشند. تشخیص این الگوهای جذاب یکی از قابلیت های منحصر به فرد انسان است.

از سویی در سال های اخیر، ماشین ها به ابزار قدرتمندی برای تشخیص الگو تبدیل شده اند و حتی در مواردی مثل تشخیص چهره، تشخیص اشیا و انواع نقش های بازی نسبت به انسان برتری دارند. در نتیجه این سؤال ها مطرح می شوند: آیا الگوریتم های یادگیری ماشین می توانند الگوهای برجسته و جذاب ریاضیات را شناسایی کنند؟ آیا می توانند داوری برای سنجش زیبایی ریاضی باشند؟

حالا به لطف پروژه چای وا وو در مرکز پژوهشی واتسون تی جی IBM در نیویورک می توان به این سؤال ها پاسخ داد. وو موفق به ساخت یک الگوریتم یادگیری ماشین شده است که می تواند انواع ساختارهای زیبای ریاضی را شناسایی کند و از این ساختارها به عنوان فیلتری برای تفکیک توالی های جذاب از توالی های تصادفی استفاده کند.

الگوریتم خودکار

در این روش از یک پایگاه داده ی عجیب به نام دایره المعارف آنلاین توالی اعداد صحیح (OEIS) استفاده می شود. این پایگاه داده در دهه ی ۱۹۶۰ توسط ریاضی دانی به نام نیل اسلون ساخته شد و در سال ۱۹۹۶ روی وب قرار گرفت.

توالی صحیح برابر است با یک مجموعه از اعداد که بر اساس یک قانون مرتب شده اند. نمونه های معروف شامل اعداد اول (اعدادی که تنها بر خود و ۱ بخش پذیر هستند،A۰۰۰۰۴۰)؛ اعداد فیبوناچی (در این مجموعه هر عدد برابر است با مجموع دو عدد قبلی A۰۰۰۰۴۵)؛ و همین طور نمونه های جزیی از جمله توالی اعداد فرد یا اعداد اولی است که با عدد ۷ شروع می شوند.

در واقع ریاضیدان هایی که از OEIS (دایره المعارف توالی اعداد صحیح) استفاده می کنند در سطح وسیعی به دنبال توالی های جذاب هستند و مجموعه ی وسیعی از نمونه های معنادار فرهنگی را درنظر می گیرند. برای مثال می توان به اعداد اول با توالی ۶۶۶ اشاره کرد که بر اساس متون تاریخی معادل با عدد چهارپا است.

توالی های معنادار فرهنگی شامل اعداد ۶۶۶ و ۶۶۷ هستند

اعداد اول شامل توالی ۶۶۷ هم (A۱۳۸۵۶۳) در این پایگاه داده وجود دارند. این عدد هم در نوع خود بسیار معنادار است زیرا در زمان گردآوری این دایره المعارف، دستگاه های فکس رایج بودند و شماره ی دستگاه فکس برابر با شماره ی تلفن به علاوه ی عدد یک بود. برای مثال اگر شماره ی تلفن ۱۲۳۴۵۶۷ باشد عدد فکس برابر با ۱۲۳۴۵۶۸ است. به این صورت، ۶۶۷ عدد فکس چهارپا است و معنای فرهنگی دارد (عدد ویرایشگر انسان است).

امروزه، پایگاه داده ی Integer Sequence شامل ۳۰۰٬۰۰۰ توالی است و روزانه تعداد زیادی از افراد آماتور و حرفه ای توالی های جدیدی را ثبت می کنند. تعداد زیادی از این توالی ها به مسائل جدید و جذاب ریاضیات اشاره می کنند. هدف وو یافتن راهی برای تفکیک توالی های جذاب از توالی های تصادفی بود و برای این کار به دنبال قوانین تجربی بود که به عنوان معیارهای جذابیت برای تفکیک توالی ها عمل می کنند. وو می گوید:

قوانین تجربی، قضیه های ریاضی نیستند بلکه مشاهدات تجربی روابطی هستند و بر تعداد زیادی از مجموعه داده های ساختگی و طبیعی اعمال می شوند. برای مثال می توان به قانون مور در مهندسی برق و اصل ۲۰/۸۰ پارتو در اقتصاد اشاره کرد؛ اما چرا این قوانین به درستی شناخته و درک نشده اند و فقط اجرا می شوند.

قانون بن فورد یکی از اصول تجربی است که بر تعداد زیادی از مجموعه های داده ای اعمال می شود. این قانون توسط ریاضی دان و ستاره شناس کانادایی سیمون نیوکام در سال ۱۸۸۱ کشف شد. به عقیده ی نیوکام صفحات اول کتاب های جدول لگاریتم زیادتر از صفحات آخر خوانده می شوند و این یعنی لگاریتم هایی که با عدد ۱ شروع می شوند رایج تر هستند.

بر همین اساس او این اصل را تعریف می کند: در هر مجموعه از داده ها تعداد اعدادی که با یک شروع می شوند زیادتر است. ایده ی مشابهی توسط فرانک بنفورد در دهه ی ۱۹۳۰ کشف شد و موردتوجه قرار گرفت.

قانون بنفورد بر یک مجموعه ی وسیع از مجموعه داده ها از جمله قبض های برق، آدرس خیابان ها، قیمت های انبار موجودی و چند مورد دیگر اعمال می شود. از این قانون می توان برای شناسایی خطاها در حساب های مالی استفاده کرد؛ اما این اصل بر توالی های تصادفی قابل اجرا نیست و دلیل مشخصی هم ندارد.

ریاضی دان ها به این نتیجه رسیده اند که می توان قانون بنفورد را بر بعضی توالی های عددی صحیح اعمال کرد؛ اما تا چه اندازه می توان آن را تعمیم داد؟ برای پاسخ به این سؤال وو عملکرد این قانون در پیش بینی توزیع رقم های اول ۴۰٬۰۰۰ توالی را ارزیابی کرد؛ این توالی ها به صورت تصادفی از پایگاه داده ی OEIS انتخاب شدند.

بر اساس نتیجه ی به دست آمده عملکرد قانون بنفورد فراتر از حد انتظار بود. وو می گوید:

بر اساس نتایج بسیاری از توالی ها (البته نه تمام آن ها) تا اندازه ای در قانون بنفورد صدق می کنند.

اعداد اول

وو اصلی تجربی دیگری به نام قانون تایلور را هم کشف کرده است. سؤال بعدی ساده تر بود: آیا می توان از قانون بنفورد و قانون تایلور برای تفکیک توالی های تصادفی از توالی های موجود در OEIS استفاده کرد؟ وو برای پاسخ این سؤال ۴۰٬۰۰۰ توالی از اعداد صحیح تصادفی ساخت و این توالی ها را به ۴۰٬۰۰۰ توالی منتخب از OEIS اضافه کرد. سپس تفکیک توالی های OEIS از توالی های تصادفی را با قانون بنفورد و تایلور به الگوریتم یادگیری ماشین آموزش داد.

نتایج تأثیرگذاری به دست آمدند. درستی این الگوریتم ۰.۹۹۹ و دقت آن ۰.۹۹۸۴ است. این نتیجه در نوع خود معنادار است زیرا یک فرآیند خودکار را برای تشخیص توالی های جذاب تنظیم می کند. کاربرد این توالی ها کاملا آشکار است. ریاضی دان هایی که از OEIS استفاده می کردند باید در طول یک سال ۱۰٬۰۰۰ تابع را پردازش میکردند و این نشان می دهد استفاده از این الگوریتم خودکار به سود آن ها بوده است.

بااین حال، این روش محدودیت های قابل توجهی دارد. ریاضی دان ها تعداد زیادی توالی جذاب و مهم با بی نهایت عبارت تعریف کرده اند اما محاسبه ی آن ها دشوار است؛ بنابراین پایگاه داده تنها شامل یک مجموعه ی مفید از این عبارت ها است. البته این عبارت ها برای تحلیل های مبتنی بر ماشین مناسب نیستند.

آیا این روش می تواند ظرافت یا زیبایی را در ریاضیات تشخیص دهد. وو در این مورد این سؤال ها را مطرح می کند: آیا یادگیری ماشین می تواند مشخصه های کیفی دانش علمی را تشخیص دهد؛ برای مثال آیا می تواند یک نتیجه ی علمی را با درجه های کیفی مثل ممتاز، ساده یا جذاب ارزیابی کند؟

اگر قوانین تجربی مثل قانون بنفورد و تایلور شاخصی برای ارزیابی جذابیت باشند، از این الگوریتم می توان به عنوان سنجشی برای زیبایی یا جذابیت در یک سطح مشخص استفاده کرد. حتما اگر اویلر (ریاضی دان برجسته) الان زنده بود از وجود چنین الگوریتمی شگفت زده می شد.